بررسی ریاضی(سیستم اعداد مانده‌ای)

سیستم اعداد مانده‌ای (باقیمانده)

سیستم اعداد مانده‌ای یك سیستم اعداد صحیح است، كه مهمترین ویژگی‌اش بطور ذاتی انتقال رقم نقلی مجازی در جمع و ضرب و تفریق‌هاست، همچنین نتجه جمع و تفریق و ضرب اعداد ما در مرحله اول بدون در نظر گرفتن طول اعداد مشخص می‌شود

، متأسفانه در سیستم اعداد مانده‌ای عملیات ریاضی دیگری مانند تقسیم و مقایسه و شناسایی علامت خیلی پیچیده و كند هستند از مشكلات دیگر سیستم اعداد مانده‌ای این است كه چون با سیستم اعداد صحیح كار می‌كند در نتیجه نمایش اعداد اعشاری در سیستم اعداد مانده‌ای خیلی ناجور است با توجه به خواص سیستم اعداد مانده‌ای نتیجه می‌گیریم كه در اهداف عمومی كامپیوترها (ماشین حساب‌ها) به صورت كاملاً جدی نمی‌تواند مطرح بشود. بهرحال ، برای بعضی از كاربرها كه اهداف خاصی دارند مثل بسیاری از انواع فیلترهای دیجیتال، تعداد جمع و ضرب‌هایی كه اساساً بزرگتر تعداد و درخواست بزرگی دامنه و شناسایی سرریز، تقسیم و شبیه این‌ها، سیستم اعداد باقیمانده خیلی جذاب و جالب می‌تواند باشد.

1-1) مقدمه

سیستم اعدادمانده‌ای اساساً بوسیله یك مبنای چندتائی (N - تائی) و نه یك مبنای واحد مثل  از اعداد صحیح مشخص می‌شود. هر كدام از ها باقیمانده پس از تقسیم یك عدد بر آن‌ها است.عدد صیح X در سیستم اعداد مانده‌ای بوسیلة یك N -تائی مثل  نمایش داده می‌شود كه هر  یك عدد غیرمنفی صحیح است كه در رابطة زیر صادق است:

جدول 1-1 نمایش اعداد در سیستم اعداد مانده‌ای به پیمانة‌

 بزرگترین عدد صحیحی است بطوریكه  معروف است به باقیمانده X به پیمانة Mi ، و در روش نوشتن اعداد  هر دو و با یك مفهوم استفاده می‌شوند.

مثال 1-1 سیستم اعدادمانده‌ای 2- باقیمانده‌ای با پیمانه‌های  را ملاحظه كنید در این سیستم نمایش عدد صحیح x=5 به صورت  نمایش داده می‌شود كه  و  از رابطه‌های زیر بدست می‌آیند.

                     چونكه                    

                     چونكه                    

بنابراین در این سیستم اعداد مانده‌ای با پیمانه‌های  و  عدد صحیح 5 به صورت (2,1) نشان داده می‌شود.

عدد X لزوماً نباید یك عدد صحیح مثبت باشد بلكه  می‌تواند عدد صیح منفی هم باشد برای مثال اگر X=-2 باشد آنگاه

                                           چونكه                     

                             چونكه                    

نكته‌ای كه در اینجا وجود دارد این است كه  ها مثبت تعریف می شوند .

بنابراین عدد صیح -2 در سیستم اعداد مانده‌ای با پیمانه‌های  و  بصورت  نمایش داده می‌شود.

جدول 1-1 اعداد صحیح در محدودة [-4,8] را در سیستم اعداد مانده‌ای به پیمانة  نمایش داده است.

همانطور كه از جدول 1-1 مشخص است نمایش مانده‌ای یك عدد صحیح منحصر بفرد است در حالی كه بر عكس این مطلب درست نیست و نمایش صحیح دو یا چند عددمانده‌ای ممكن است یكسان باشد برای مثال نمایش صحیح (1،1) هم عد یك می‌شود و هم عدد هفت، پس در نتیجه ما باید دامنة اعدادی را كه نمایش داده می شوند  محدود كنیم، همنطور كه از جدول 1-1 مشخص می‌شود نمایش مانده‌ای دوره‌ای است و تكرار می‌شود  و در اینجا محدودة تكرارش شش است، ما در سیستم اعداد مانده‌ای به پیمانة فقط شش نمایش مختلف دادیم چونكه  دو مقدار مختلف  سه مدقار مختلف می‌توانند به خود  بگیرند، بنابراین ما باید ناحیة نمایش را به شش عدد محدود بكنیم، دو ناحیة‌ممكن  در جدول مشخص شده‌اند، اولی  و دومی  است.

در حالت كلی در سیستم اعدادمانده‌ای می‌توان گفت كه تعداد نمایش‌های غیرتكراری برابر است با كوچكترین مضرب مشترك پیمانه‌‌ها، كه به صورت زیر نمایش داده می‌شود.

مثال 2-1

برای جمع دو عدد y=2 , x=1 در سیستم اعداد مانده‌ای به پیمانة‌  ، اولین كاری كه انجام می‌دهیم این است كه هر كدام از این اعداد را در سیستم اعداد مانده‌ای با این پیمانه نمایش می‌دهیم كه نمایش این اعداد به ترتیب به صورت (1 ، 1) و (0 ، 2) می‌باشد.

تتیجه نهایی برابر (1 ، 0) در سیستم اعداد مانده‌ای با پیمانة (3,2) است كه  نمایشگر عدد 3 می‌باشد.  ضرب دو عدد X و ‎ در هم نیز به صورت زیر است.

نتیجه ضرب X  و Y در همدیگر در این سیستم (2,0) می‌شود كه نمایشگر عدد 2 می‌باشد.

برای انجام عمل تفریق اول ما معكوس جمع را تعریف می‌كنیم، معكوس جمع عدد c به پیمانة  را به این صورت تعریف می‌كنیم.

                               چونكه

برای  مثال              

به بیانی دیگر، معكوس جمع یك عدد را می‌تواند مكمل باقیمانده نسبت به پیمانه‌اش باشد و سپس در ادامه معادله تفریق را به صورت زیر تعریف می‌كنیم.

در اینجا از تعریف معكوس جمع استفاده می‌كنیم و به شكلی دیگر كه در پایین آمده  عمل تفریق می‌نویسم.

برای مثال اگر دو عدد Y=3 , X=5 در سیستم اعداد مانده‌ای با پیمانة  داشته باشیم آنوقت عمل تفریق x-y به صورت زیر انجام می‌شود.

كه (2,0) نمایشگر مقدار2 می‌باشد.

مثال 3-1

سیستم اعداد مانده‌ای با چهار پیمانه (7,5,3,2) =  را در نظر می‌‌گیریم در این سیستم‌ها همة پیمانه‌ها دوبه دو نسبت به هم اول هستند پس

حال عمل ضرب و جمع دو عدد X=3 و Y=4 را در این سیستم انجام می‌دهیم كه اعداد X=3 و Y=4 در این سیستم به ترتیب با (4,4,1,0) , (3,3,0,1) نمایش داده می شوند .

عمل جمع و ضرب این دو عدد در این سیستم بدینگونه انجام می‎شود.

اعداد (5,2,0,0)  و (0,2,1,1) در سیستم اعداد مانده‌ای به پیمانة (7,5,3,2) =  به ترتیب نمایشگر اعداد 12 و 7 هستند كه جواب درست عملیات جمع و ضرب ما می‌باشند. اما وقتی كه ما جمع دو عدد 7 و 206 را كه در این سیستم اعداد مانده‌ای به ترتیب با (0,2,1,1) و  (3,1,2,0)  انجام می‌دهیم  عدد (3 , 3 , 0 , 1) در این سیستم اعداد مانده‌ای بدست می‌آید كه نمایشگر عدد 3 می‌باشد.

فهرست

عنوان                                                                                         صفحه

1-1) مقدمه...................................................................................................... 2

2-1) عملیات ریاضی........................................................................................ 7

1-2-1) معكوس ضرب................................................................................... 10

3-1) سیستم اعدادمبنای در هم وابسطه......................................................... 12

4-1) تبدیل اعداد به سیستم اعداد مانده‌ای و برعكس..................................... 22

1-4-1-) تبدیل اعداد از سیستم باینری به سیستم مانده‌ای .......................... 24

5-1) انتخاب پیمانه........................................................................................... 26