كلیات معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی

كلیات معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی


مقدمه
یك معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی (یا نسبی) برای یك تابع رابطهای است كه بین تابع مجهول u و متغیرهای مستقل آن (به تعداد متنابهی) و مشتقات جزئی تابع u نسبت به متغیرهای مستقل آن برقرار میباشد.

 تابع u را جوابی برای معادله دیفرانسیل فوق مینامیم هرگاه پس لز جایگزینی u(x,y,...) و مشتقات جزئی آن، این معادله دیفرانسیل نسبت به متغیرهای مستقل مذكور، درناحیه ای از فضای این متغیرهای مستقل تبدیل به یك اتحاد شود.
مرتبة یك معادلة دیفرانسیل با مشتقات جزئی بالاترین مرتبة مشتقات موجود در آن معادله است. مثلاً uuxy+uyux=f(x,y) یك معادله دیفرانسیل مرتبه دوم است. در اینجا    و و 
یك معادلعه دیفرانسیل با مشتقات جزئی را خطی گوئین هرگاه این معادله نسبت به تابع مجهول و مشتقات آن، با ضرایبی كه فقط تابع متغیرهای مستقل هستند، خطی باشد. یك معادله با مشتقات جرئی از مرتبه m را شبه خطی گوئیم هرگاه این معادله نسبت به مشتقات جزئی مرتبه mام تابع مجهول، با ضرایبی كه فقط تابع متغیرهای مستقل u و مشتقات از مرتبه كمتر از m هستند، خطی باشد (مانند مثال بالا) یك معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی خطی یك حالت خاص معادله شبه خطی است.
2- معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی مرتبه اول
معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی مرتبه اول خطی با ضرایب ثابت
به عنوان گام نخست معادلع دیفرانسیل (2-1) aux+buy+cu=f(xy) را درنظر میگیریم، كه در آن تابع f داده شده و ضرایب ثابتاند. سعی میكنیم با تغییر متغیرهای ساده مانند (2-2) x=ay+a1 و y=by+b1 معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی (2-1) را به معادله دیفرانسیل ) uy+cu=f(ay+a1 , by +b1 تبدیل كنیم كه مانند یك معادله دیفرانسیل معمولی خطی مرتبه اول با ضرایب ثابت نسبت به متغیر مستقل y حل میشود، منتها ثابت انتگرالگیری تابع دلخواهی از خواهد بود. بعد از حل بجای y و برحسب x و y جانشین میكنیم تا جواب u(x,y) حاصل شود البته لازمه این كار آنست كه دترمیبنال ضرایب تغییر متغیرهای (2-C) غیرصفر باشد، سعنی مستقل بودن این متغیرها تضمین شود (این دترمینال ژاكوبی تغییر متغیرها است)
مثال ا
قضیه زیر یك روش حل معادله با مشتقات جزئی مرتبه اول شبه خطی را پیش روی ما میگذارد كه فعلاً از بیان آن خودداری میكنیم.