بررسی حل معادلات عددی دیفرانسیل

مقدمه

معرفی معادلات دیفرانسیل

معادله در ریاضیات وقتی با اسم خاص و صورت خاص می آید خود به تنهایی مسأله ای را نمایش می دهد كه در آن می خواهیم مجهولی را بدست آوریم.

    كاربرد معادله دیفرانسیل از نظر تاریخی با معرفی مفهوم های مشتق و انتگرال آغاز گردید. ساده ترین نوع معادله دیفرانسیل آن دسته از معادلاتی هستند كه مشتق تابع جواب را داشته باشیم. كه چنین محاسبه ای به پاد مشق گیری و انتگرال گیری نامعین موسوم است.

    معادلات دیفرانسیل وابستگی بین توابع و مشتق های توابع را نشان می دهد. كه از لحاظ تاریخی به طور طبیعی از زمان كشف مشتق به وسیله نیوتن ولایب نیتس آغاز می شود. (قرن هفدهم میلادی). كه با رشد سریع علم و صنعت در قرن بیستم روشهای عددی حل معادلات دیفرانسیل مورد توجه قرار گرفتند كه توسعه و پیشرفت كامپیوتر ها در پایان قرن بیستم موجب كاربرد روش های تقریبی تعیین جواب معادلات دیفرانسیل در بسیاری از زمینه های كاربردی گردید كه باعث بوجود آمدن مباحث جدید در این زمینه شد.

نمادها و مفاهیم اساسی

اگر    تابعی از متغیر حقیقی باشد و                       ضابطه آن و     متغیر تابع یا مقدار تابع باشد، آنگاه مشتق    با یكی از نمادهای                                              نمایش داده می شود. همچنین مشتق دوم، سوم،... و    ام آن نیز به ترتیب با نمادهای

نمایش داده می شوند. اگر   تابعی از دو متغیر حقیقی       باشد آنگاه مشتق های جزئی   با نمادهای                                                       نمایش داده می شوند. همچنین اگر                           آنگاه مشتق های جزئی   با نمادهای                               و یا                                           

               نمایش داده می شوند.

همچنین داریم:

كه این توابع مشتقات جزئی مرتبه دوم و مراتب بالاتر است.

همچنین برای توابع   متغیر حقیقی داریم:

كه فرض می كنیم همه مشتقات جزئی تا مرتبه مورد نظر پیوسته باشند.

حال برای تابع از متغیر حقیقی با مقدار حقیقی                                           را دیفرانسیل تابع   گویند. اگر تابع از    متغیر حقیقی  باشد.

را دیفرانسیل كامل تابع    گویند. كه در حالت خاص اگر   از دو متغیر حقیقی با مقدار حقیقی باشد داریم:

معادلات دیفرانسیل معمولی و با مشتقات جزئی

یك معادله دیفرانسیل هر كدام از توابع ضمنی از متغیر یا متغیرهای مستقل، متغیر یا متغیرهای تابع و مشتق های متغیر یا متغیر های تابع نسبت به متغیر یا متغیرهای مستقل می تواند    باشد كه حتماً باید لا اقل یك مشتق ساده یا جزئی در آن حضور داشته باشد.

معادله دیفرانسیل                                                           یك نوع از معادلات دیفرانسیل است كه فقط یك متغیر مستقل     در آن وجود دارد. و         متغیر تابع و     

       مشتقات مرتبه اول تا    ام نسبت به   است. متغیر        می توانند در معادلات دیفرانسیل نباشند ولی حضور لااقل یك مشتق الزامی است. معادله دیفرانسیل         

                                                                             یك نوع معادله است كه شامل         متغیر مستقل                              است و فقط یك متغیر تابع         دارد كه در آن       تابعی از      ها است.

برای دسته بندی معادلات دیفرانسیل می گوییم  هرگاه همه مشتق های ظاهر شده در معادله مشتق ساده باشند آنگاه معادله را معادله

دیفرانسیل معمولی (یا ساده یا عادی) می نامیم. اما اگر در عبارت معادله لااقل یك مشتق جزئی ظاهر شود آن را یك معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی یا معادله دیفرانسیل نسبی می نامیم.

معادلات دیفرانسیل زیر از جمله معادلات دیفرانسیل مهم هستند:

(معادله خطی غیر همگن)؛

(معادله بزنولی)

(معادله ریكاتی)

(معادله لا پلاس)

(معادله كلرو)       غیر خطی؛

(معادله لاگرانژ)          غیر خطی؛

(معادله یك بعدی حرارتی)          ثابت؛

(معادله اولر)            ثابت؛

(معادله لژ اندر)       ثابت؛

 (معادله بسل)            ثابت نا منفی؛

(معادله پواسن)        

(معادله یك بعدی موج)       ثابت؛

(معادله ترافیك)     

(معادله لاگرانژ)

(معادله پفافی)

(معادله ارتعاش تیر)        ثابت

از معادلات دیفرانسیل فوق معادلات (3)(4)(5)(7)(8)(10)(11)(12) معادلات دیفرانسیل معمولی و بقیه معادلات دیفرانسیل نسبی می باشند.

اگر بخواهیم یك معادله را به صورت دیفرانسیلی بنویسیم می توانیم به جای     عبارت       را جایگزین كنیم. مثلاً برای معادله                           به صورت   

است.

یك روش دیگر برای دسته بندی معادلات دیفرانسیل استفاده از مرتبة  آنها است كه مرتبة یك معادله دیفرانسیل عبارت است از بزرگترین مرتبه مشتق یا مشتقات ظاهر شده در عبارت معادله دیفرانسیل. با توجه به معادلات فوق می بینیم كه معادلات (3) و(4)و(5)و(7)و(8)و(15)و(16)و(17) معادلات مرتبه اول و معادلات (6)و(9)و(10)و(11) و(12)و(13)و(14) معادلات مرتبه دوم و معادله دیفرانسیل (18) یك معادله مرتبه چهارم است.

وقتی معادلات دیفرانسیل هر كدام دارای بیش از یك متغیر تابع باشند در این صورت معادلات به تنهایی ظاهر نمی شوند و مجموعه ای از آنها مورد استفاده قرار می گیرد كه اغلب تعدادشان با تعداد متغیرهای تابع برابر است. این گونه معادلات را دستگاه معادلات دیفرانسیل می نامیم.

یك روش دیگر برای دسته بندی معادلات دیفرانسیل استفاده از مفهوم خطی بودن یا غیر خطی بودن معادلات دیفرانسیل است.

یك معادله دیفرانسیل معمولی یا با مشتقات جزئی داده شده را یك معادله دیفرانسیل خطی در مجموعه متغیرهای تابعی اش گوئیم هر گاه:

1) متغیر یا متغیرهای تابع از توان یك باشند.

2) متغیر تابع یا متغیرهای تابع و مشتقات، ضریب متغیرهای تابعی و مشتقات آنها نباشند.

3) خود متغیر تابعی غیر خطی نباشد.

در غیر این صورت اگر هر كدام از شرطهای بالا نقص شود معادله دیفرانسیل  غیر خطی است از معادلات مهم كه ارائه كردیم معادلات (3)و(6)و(9)و(10) و(11) و(12) و(13) و (14) و (18) خطی هستند و معادله (4) (به دلیل حضور   ) و (5) (به دلیل حضور    )، (7) (به دلیل غیر خطی بودن   ) و (8) (برای لا اقل غیر خطی بودن          )

غیر خطی هستند. معادلات (16) و (17) می توانند خطی یا غیر خطی باشند.

همچنین می توان خطی بودن را نسبت به یك عامل از معادله دیفرانسیل، مانند متغیر تابع یا متغیرهای تابع، یا مشتق از مرتبه مشخصی تعیین نمود. این گونه معادلات نیمه خطی یا شبه خطی نامیده می شوند. مثلاً معادله                                    

كه یك معادله غیر خطی نسبت به متغیر تابع       به دلیل حضور                            و همچنین به علت حضور      است را می توان یك معادله خطی نسبت به مشتقات جزئی نامید.  یك معادله دیفرانسیل مرتبه اول خطی معمولی به صورت كلی

3 روش های تكراری

روش قبل نشان داد كه چگونه باید معادله تفاضلی لاپلاس را با ساختن یك دستگاه خاص از معادلات خطی و حل آن، حل كرد. نقطة ضعف این روش ذخیره سازی است. هر گره داخلی یك معادله وارد می كند كه باید حل شود. چون تقریب های بهتر نیاز به شبكه با مربعهای ظریفتر ممكن است تعداد زیادی معادله لازم باشد برای مثال، جواب معادله لاپلاس با شرایط مرزی دیریكله نیاز به حل یك دستگاه                  معادله دارد. اگر   به تعداد كمی مربع تقسیم شود مثلاً 10 در 10، 91 معادله و 91 مجهول یافت خواهد شد. بنابراین معقول است كه تكنیكهایی را گسترش دهیم كه مقدار ذخیره سازی را كاهش دهند. یك روش تكراری فقط نیاز به ذخیره سازی 100 تقریب عددی                    از سرتاسر شبكه دارد.

اجازه دهید با معادله لاپلاس

(18)

شروع كنیم. فرض كنید كه مقادیر مرزی              در نقاط زیر معلوم باشند.

(در طرف چپ) به ازای

(در پایین) به ازای

(19)

(در طرف راست) به ازای

(در بالا) به ازای

معادله (18) را دوباره به شكل زیر می نویسم كه برای تكرارها مناسب است:

(20)

 كه در آن

به ازای

مقادیر آغازین برای نقاط داخلی شبكه باید فراهم شوند. ثابت    ، كه میانگین                مقدار مرزی ارائه شده در (19) است، می تواند برای این هدف استفاده شود. یك تكرار از اجرای فرمول (20) درمورد تمام نقاط داخلی شبكه تشكیل می شود. تكرارهای متوالی عملگر تكراری لاپلاس

(20) را در مورد همه نقاط داخلی شبكه اجرا می كنند تا جملة مانده    

در طرف راست (20) به صفر كاهش یابد.( یعنی               به ازای هر

          برقرار باشد) سرعت همگرایی برای كاهش همه مانده های     

به صفر با استفاده از روشی كه فوق تخفیف متوالی نامیده می شود افزایش می یابد. روش فوق تخفیف متوالی از فرمول تكراری زیر استفاده می شود:

(22) 

كه در آن پارامتر    در دامنه               قرار دارد. در روش فوق تخفیف متوالی فرمول (22) در سراسر شبكه اجرا می شود تا رابطه           

برقرار گردد: انتخاب بهینه برای   مبتنی بر مطالعه مقادیر ویژه ماتریسهای تكرار برای دستگاههای خطی است و در این حالت توسط فرمول زیر ارائه می شود:

(23)

اگر شرط مرزی نویمان بر روی قسمتی از مرز مشخص شود ما باید معادله (14) تا (17) را دوباره به شكلی بنویسیم كه برای تكرار مناسب باشند. چهار حالت در زیر خلاصه شده اند و پارامتر تخفیف    را نیز وارد كرده اند.

(24) (ضلع پایین)

(25) (ضلع بالا)

(26) (ضلع چپ)

(27) (ضلع راست)

مثال: از یك روش تكراری استفاده كنید و یك جواب تقریبی برای معادله لاپلاس              در                                         به دست آورید كه در آن مقادیر مرزی عبارتند از:

به ازای

و

به ازای

حل: برای توضیح مربع را به 64 مربع با اضلاع                                    تقسیم می كنیم. مقدار اولیه را در نقاط داخلی شبكه برابر         به ازای هر

              و                  قرار داده و سپس روش فوق تخفیف             را با پارامتر                             (در فرمول (23)                      قرار داده شده اند) به كار می بریم. بعد از 19 تكرار مانده به صورت یكنواخت كاهش می یابد (یعنی                              ) تقریبهای حاصل در جدول زیر ارائه شده اند. به واسطة گسسته بودن تابع مرزی در گوشه ها مقادیر مرزی     

در جدول و شكل وارد شده اند. اما در محاسبات مربوط نقاط داخلی شبكه استفاد ه نمی شوند. یك نمایش سه بعدی از داده ها نیز ارائه شده است.

فهرست

مقدمه – معرفی معادلات دیفرانسیل                                       4

بخش اول – حل عددی معادلات دیفرانسیل معمولی            20

فصل اول – معادلات دیفرانسیل معمولی تحت شرط اولیه         20 

فصل دوم – معادلات دیفرانسیل معمولی تحت شرایط مرزی    66 

فصل سوم – معادلات دیفرانسیل خطی                                     111     

بخش دوم – حل عددی معادلات دیفرانسیل جزئی               125

فصل اول – حل معادلات عددی هذلولوی                               128     

فصل دوم – حل معادلات عددی سهموی                                146

فصل سوم – حل معادلات عددی بیضوی                                 164  

فصل چهارم – منحنی های مشخصه                                       184